Мобильная версия

Электронная библиотека

Программисту веб-дизайнеру

Другие материалы

Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров, Специальные функции математической физики

Бесплатно скачать книгу, объем 3.24 Мб, формат .djvu

Глава I. Основы теории специальных функций
§ 1. Дифференциальное уравнение для специальных функций
§ 2. Полиномы гипергеометрического типа
§ 3. Интегральное представление для функций гипергеометрического типа
§ 4. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

Глава II. Классические ортогональные полиномы
§ 5. Основные свойства полиномов гипергоеметрического типа
§ 6. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов
§ 7. Качественное поведение и асимптотические свойства полиномов Якоби, Лагерра и Эрмита
§ 8. Разложение функций в ряды по классическим ортогональным полиномам
§ 9. Задачи на собственные значения, приводящие к классическим ортогональным полиномам
§ 10. Сферические функции
§ 11. Функции второго рода
§ 12. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной
§ 13. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной на неравномерных сетках

Глава III. Цилиндрические функции
§ 14. Дифференциальное уравнение Бесселя и его решение
§ 15. Основные свойства цилиндрических функций
§ 16. Интегральное представление Зоммерфельда
§ 17. Специальные классы цилиндрических функций
§ 18. Теоремы сложения
§ 19. Квазиклассическое приближение

Глава IV. Гипергеометрические функции
§ 20. Уравнения гипергеометрического типа и их решения
§ 21. Основные свойства функций гипергеометрического типа
§ 22. Представление различных функций через функции гипергеометрического типа
§ 23. Определенные интегралы, содержащие функции гипергеометрического типа

Глава V. Решение некоторых задач математической физики, квантовой механики и вычислительной математики
§ 24. Приведение уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям методом разделения переменных
§ 25. Краевые задачи математической, физики
§ 26. Решение некоторых основных задач квантовой механики
§ 27. Применение специальных функций в некоторых задачах представления интеграла

Краткая аннотация книги

В связи с широким развитием численных методов и возрастанием роли вычислительного эксперимента в большой степени повысился интерес, к специальным функциям. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического явления для понимания основных закономерностей явления и выяснения относительной роли отдельных эффектов исходную задачу часто приходится упрощать для того, чтобы можно было получить решение в легко анализируемой аналитической форме. Во-вторых, при решении сложных задач на компьютере удобно использовать упрощенные задачи для выбора надежных и экономичных вычислительных алгоритмов. Очень редко при этом можно ограничиться задачами, приводящими к элементарным функциям. Кроме того, знание специальных функций необходимо для понимания многих важных вопросов теоретической и математической физики.

Наиболее употребительными специальными функциями являются так называемые специальные функции математической физики: классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита), сферические, цилиндрические и гипергеометрические функции. Теории этих функций и их приложениям посвящен целый ряд фундаментальных исследований. К сожалению, в этих исследованиях используется довольно громоздкий математический аппарат и множество специальных приемов. Поэтому давно существует потребность в построении теории специальных функций, основанном на одной общей и достаточно простой идее.

Авторам предлагаемой книги удалось найти удобный для изучения способ изложения теории специальных функций, опирающийся на обобщение известной формулы Родрига для классических ортогональных полиномов. Такой подход позволяет получить в явном виде интегральные представления для всех специальных функций математической физики и вывести основные свойства этих функций. В частности, с помощью предложенного метода можно найти решения тех линейных дифференциальных уравнений второго порядка, которые обычно решаются методом Лапласа. Для построения теории специальных функций применяется минимальный математический аппарат: от читателя требуется владение лишь основными фактами теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного. Это несомненное достоинство книги, так как известно, что большой объем необходимых математических знаний, в том числе и по специальным функциям, составляет основное препятствие при изучении теоретической и математической физики.

В процессе работы над книгой читатель приобретает навыки получения асимптотических формул, разложений в ряды, рекуррентных соотношений, различного рода оценок, расчетных формул и учится видеть внутренние логические связи между совершенно различными на первый взгляд специальными функциями. В книге намечены связи с другими разделами математики и физики. Большое внимание уделено квантово-механическим приложениям. Особый интерес для изучающих квантовую механику представляет изложение вопросов о нахождении дискретного спектра энергий и соответствующих волновых функций для задач, приводящих к использованию классических ортогональных полиномов. Эти вопросы авторам удалось изложить без традиционного использования обобщенных степенных рядов. Благодаря этому красиво и легко решаются такие важные задачи квантовой механики, как задача о гармоническом осцилляторе, движение частицы в центральном поле, уравиепия Шредингера, Дирака и Клейна-Гордона для кулоновского потенциала. Заслуживает внимания также изложение метода Вентцеля-Крамерса-Бриллюэпа на основе метода Стеклова.

Для сферических и цилиндрических функций рассмотрены теоремы сложения, широко применяемые в теории атомных спектров, теории рассеяния, при расчетах ядерных реакторов. При изучении обобщенных сферических функций авторы вплотную подходят к теории представлений группы вращений и общей теории момента количества движения. В дальнейшем читатель может углубить свои знания по специальным функциям с помощью книг, в которых специальные функции исследуются методами теории групп. Для занимающихся теорией разностных методов представят интерес классические ортогональные полиномы дискретной переменной. С точки зрения приближенных вычислений поучительно применение квадратурных формул типа Гаусса для вычисления сумм и построения приближенных формул для специальных функций. Заметим, что многие существенные для приложений вопросы, излагаемые в книге, либо слабо освещаются, либо совсем не затрагиваются в учебной литературе.

Книга написана специалистами по математической физике и квантовой механике. Она возникла в процессе работы авторов над актуальной проблемой физики плазмы в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР (Академия Наук РФ). В книге содержится очень большой материал, ясно и последовательно изложенный в малом объеме. Несомненно, что предлагаемая книга окажется полезной широкому кругу читателей.

Академик А. А. Самарский

Примечание. Сохраняйте книги на мобильный телефон и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов. Материал носит неофициальный характер и приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.

Мобильная версия

Сайт для компьютера
http://www.mat.net.ua