Бесплатная электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
   Н.Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп

   Вы можете  найти на этой странице (программа отметит желтым цветом)
   Вы можете посмотреть  список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
   Вы можете посмотреть  список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.

   • Бесплатно скачать книгу, объем 4.38 Мб, формат .djvu

   Уважаемые дамы и господа !! Для того, чтобы без "глюков" скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши, выберите команду "Save target as ..." ("Сохранить объект как ...") и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.

ГЛАВА I ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП

§ 1. Основные понятия теории представлений
   1. Определение
   2. Матричная запись представлений
   3. Эквивалентные представления
   4. Сопряженные представления
   5. Эрмитово-сопряженные представления. Унитарные представления
   6. Инвариантные подпространства. Неприводимые представления
   7. Разложение представления в прямую сумму
   8. Полная приводимость унитарных представлений
   9. Кронекеровское умножение представлений
   10. Характеры представлений
   11. Инфинитезимальные операторы представления

§ 2. Группы преобразований и их представления
   1. Группы преобразований
   2. Транзитивные группы преобразований
   3. Инвариантные меры
   4. Представления групп операторами сдвига
   5. Представления класса 1. Сферические функции
   6. Индуцированные представления
   7. Представления групп с операторным множителем
   8. Некоторые примеры

§ 3. Инвариантные операторы и теория представлений
   9. Операторы, перестановочные с представлениями
   10. Лемма Шура
   11. Следствия из леммы Шура
   12. Инвариантные операторы

§ 4. Представления компактных групп
   1. Матричные группы. Компактные и локально компактные группы
   2. Полная приводимость представлений компактных групп
   3. Ряды Фурье на компактных группах
   4. Гармонический анализ функций на компактных группах
   5. Разложение функций на однородных пространствах
   6. Свертка функций на группе
   7. Разложение центральных функций Дополнение к главе I. Некоторые сведения о линейных пространствах
   1. Кронекеровское или тензорное произведение линейных пространств и операторов
   2. Операторы типа Гильберта - Шмидта
   3. Тензорное произведение гильбертовых пространств
   4. Счетно-гильбертовы пространства. Ядерные пространства
   5. Ортогональная прямая сумма гильбертовых пространств
   6. Непрерывная прямая сумма гильбертовых пространств
   7. Разложение операторов в непрерывную прямую сумму операторов

ГЛАВА II АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ

§ 1. Показательная и тригонометрические функции
   1. Неприводимые унитарные представления группы R
   2. Группа вращений плоскости и тригонометрические функции
   3. Группа гиперболических вращений плоскости и гиперболические функции
   4. Комплексная форма группы SO(2)

§ 2. Ряды Фурье
   1. Инвариантное интегрирование на группе SO(2)
   2. Тригонометрическая система функций. Ряды Фурье
   3. Разложение регулярного представления группы SO(2)
   4. Разложение бесконечно дифференцируемых функций

§ 3. Интеграл Фурье
   1. Регулярное представление группы R
   2. Преобразование Фурье и его свойства
   3. Формула обращения
   4. Формула Планшереля
   5. Преобразование функций с интегрируемым квадратом
   6. Интеграл Фурье для функций нескольких переменных
   7. Определение
   8. Преобразование функций с интегрируемым квадратом
   9. Преобразование Меллина

ГЛАВА III ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ

§ 1. Группа SU(2)
   1. Параметризация
   2. Углы Эйлера произведения двух матриц
   3. Алгебра Ли
   4. Комплексификация
   5. Связь с группой вращений
   6. Углы Эйлера вращений
   7. Сфера, как однородное пространство

§ 2. Неприводимые унитарные представления
   1. Представления в пространствах однородных многочленов
   2. Инфинитезимальные операторы представления
   3. Неприводимость
   4. Инвариантное скалярное произведение
   5. Полнота системы представлений

§ 3. Матричные элементы представлений. Многочлены Лежандра и Якоби
   1. Вычисление матричных элементов
   2. Различные выражения матричных элементов
   3. Выражение через углы Эйлера
   4. Различные выражения функций
   5. Частные значения
   6. Соотношения симметрии
   7. Матрицы
   8. Соотношения обхода
   9. Связь с классическими ортогональными многочленами
   10. Многочлены Лежандра как зональные сферические функции

§ 4. Функциональные соотношения для функций
   1 Теорема сложения
   2. Теорема сложения для многочленов Лежандра
   3. Формула умножения
   4. Рекуррентные формулы
   5. Дифференциальное уравнение
   6. Инфинитезимальные операторы регулярного представления
   7. Инфинитезимальные операторы и рекуррентные формулы
   8. Оператор Лапласа
   9. Дальнейшие рекуррентные соотношения

§ 5. Производящие функции для
   1. Случай фиксированных
   2. Рекуррентные формулы при различных значениях
   3. Случай фиксированных тип
   4. Интегральные представления Дирихле - Мерфи
   5. Рекуррентные формулы для многочленов Лежандра

§ 6. Разложение функций на группе
   1. Инвариантная мера
   2. Соотношения ортогональности для функций
   3. Разложения в ряды по функциям
   4. Некоторые подпространства функций
   5. Разложение функций на сфере
   6. Разложение полей величин на сфере

§ 7. Характеры представлений
   1. Вычисление характеров
   2. Ортогональность характеров
   3. Разложение центральных функций

§ 8. Коэффициенты Клебша - Гордана
   1. Кронекеровское произведение представлений
   2. Базисы в пространстве
   3. Вычисление коэффициентов Клебша - Гордана
   4. Соотношения симетрни
   5. Некоторые частные значения
   6. Разложение произведений функций
   7. Связь с многочленами Якоби
   8. Рекуррентные формулы
   9. Производящая функция

ГЛАВА IV ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

§ 1.ГруппаМ(2)
   1. Определение
   2. Параметризации
   3. Алгебра Ли
   4. Комплексификация

§ 2. Неприводимые унитарные представления группы
   1. Описание представлений
   2. Инфинитезимальные операторы
   3. Неприводимость представлений
   4. Представления скрещенных произведений

§ 3. Матричные элементы представлений и функции Бесселя
   1. Вычисление матричных элементов
   2. Связь функций Бесселя с противоположными индексами
   3. Разложение функций Бесселя в степенные ряды

§ 4. Функциональные соотношения для функций Бесселя
   1. Теорема сложения
   2. Формула умножения
   3. Рекуррентные формулы
   4. Дифференциальное уравнение
   5. Производящая функция
   6. Рекуррентные соотношения

§ 5. Разложения представлений группы М(2) и преобразование Фурье - Бесселя
   1. Квазирегулярное представление
   2. Преобразование Фурье - Бесселя
   3. Разложение квазирегулярного представления
   4. Инфинитезимальные операторы
   5. Разложение регулярного представления

§ 6. Произведение представлений
   1. Кронекеровское произведение представлений TR(g)
   2. Кронекеровское произведение и формула умножения

§ 7. Функции Бесселя и функции
   1. Группа движений плоскости и группа вращений сферы
   2. Функции Бесселя и многочлены Якоби
   3. Асимптотическая формула для коэффициентов Клебша-Гордана

ГЛАВА V ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ И ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯ И МАКДОНАЛЬДА

§ 1. Представления группы линейных преобразований прямой линии и Г-функция
   1. Группа линейных преобразований прямой линии
   2. Неприводимые представления группы G
   3. Приведение операторов к диагональному виду
   4. Выражение ядра через Г-функцию
   5. Свойства Г-функции
   6. Теорема сложения для Г-функции и ее следствия
   7. Бета-функция и формула удвоения для Т(х)
   8. Преобразование Фурье функций
   9. Представления группы линейных преобразований прямой, индуцированные одномерными представлениями подгруппы

§ 2. Группа движений псевдоевклидовой плоскости
   1. Псевдоевклидова плоскость
   2. Группа
   3. Параметризации группы
   4. Алгебра Ли группы

§ 3. Представления группы
   1. Неприводимые представления
   2. Другая реализация представлений TR(g) группы
   3. Унитарный случай
   4. Функции Макдональда и Ганкеля
   5. Выражение ядер представления через функцию Макдональда
   6. Инфинитезимальные операторы представлений
   7. Неприводимость представлений TR(g)

§ 4. Рекуррентные формулы и дифференциальное уравнение для функций Макдональда и Ганкеля
   1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами представления
   2. Рекуррентные формулы
   3. Дифференциальные уравнения для функций Макдональда и Ганкеля
   4. Связь между функциями Ганкеля и функциями Бесселя

§ 5. Функциональные соотношения для функций Ганкеля и Макдональда
   1. Вводные замечания
   2. Интегральное представление
   3. Разложение в степенные ряды
   4. Преобразования Меллина
   5. Преобразования Меллина (продолжение)
   6. Теоремы сложения
   7. Теоремы умножения
   8. Взаимно обратные интегральные преобразования

§ 6. Разложение квазирегулярного представления группы
   1. Квазирегулярное представление группы
   2. Интегральные преобразования

ГЛАВА VI ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ УНИМОДУЛЯРНЫХ КВАЗИУНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ

§ 1. Группа
   1. Описание
   2. Подгруппы группы
   3. Параметризации группы
   4. Инвариантное интегрирование
   5. Алгебра Ли

§ 2. Неприводимые представления группы
   1. Пространство
   2. Представления
   3. Инфинитезимальные операторы
   4. Неприводимость
   5. Целочисленные представления
   6. Условия эквивалентности
   7. Условия унитарности
   8. Унитарно-сопряженные представления

§ 3. Матричные элементы представлений
   1. Вычисление матричных элементов
   2. Выражение через углы Эйлера
   3. Различные выражения функций
   4. Зональные сферические функции представлений и функции Лежандра
   5. Присоединенные функции Лежандра
   6. Соотношения симметрии для функции
   7. Функции в целочисленном случае

§ 4. Функциональные соотношения для
   1. Теорема сложения
   2. Целочисленный случай
   3. Теоремы сложения для функций Лежандра
   4. Формула умножения
   5. Рекуррентные формулы
   6. Производящая функция
   7. Континуальная производящая Функция

§ 5. Разложение регулярного представления группы
   1. Регулярное представление группы
   2. Рекуррентные соотношения и нифинитезимальные операторы
   3. Разложение функций на группе
   4. Разложение регулярного представления группы на неприводимые
   5. Разложение индуцированных представлений группы
   6. Соотношения ортогональности для функций

ГЛАВА VII ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ УНИМОДУЛЯРНЫХ МАТРИЦ И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

§ 1. Гипергеометрическая функция
   1. Определение
   2. Некоторые соотношения
   3. Некоторые интегралы, выражающиеся через гипергеометрическую функцию
   4. Выражение функций и многочленов Якоби через гипергеометрическую функцию

§ 2. Группа вещественных унимодулярных матриц второго порядка
   1. Вводные замечания
   2. Параметризация
   3. Алгебра Ли

§ 3. Неприводимые представления группы
   1. Описание
   2. Другая реализация представлений
   3. Операторы второй реализации представлений
   4. Инфинитезимальные операторы

§ 4. Вычисление ядер представления
   1. Вычисление
   2. Случай треугольных матриц
   3. Общий случай
   4. Некоторые интегральные преобразования, связанные с гипергеометрической функцией

§ 5. Рекуррентные формулы для гипергеометрической функции. Гипергеометрическое уравнение
   1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами представления
   2. Рекуррентные формулы
   3. Гипергеометрическое уравнение

§ 6. Интегральные представления и формула сложения для гипергеометрической функции
   1. Вводные замечания
   2. Интегральные представления
   3. Преобразование Меллина
   4. Теоремы сложения

§ 7. Представления группы вещественных матриц второго порядка и функции Ганкеля
   1. Новая реализация представлений
   2. Вычисление ядра оператора

ГЛАВА VIII ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА И ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА

§ 1. Функции Уиттекера и вырожденная гипергеометрическая функция
   1. Определение
   2. Вырожденная гипергеометрическая функция

§ 2. Группа треугольных матриц третьего порядка и ее представления
   1. Алгебра Ли
   2. Разложение по однопараметрическим подгруппам
   3. Неприводимые представления группы
   4. Другая реализация представлений
   5. Инфинитезимальные операторы представлений
   6. Вычисление ядер представлений

§ 3. Функциональные соотношения для функций Уиттекера
   1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами представления
   2. Рекуррентные соотношения
   3. Дифференциальное уравнение Уиттекера
   4. Соотношения симметрии для функций Уиттекера

§ 4. Интегралы, связанные с функциями Уиттекера
   1. Представление Меллина - Бернса
   2. Преобразование Меллина по параметрам
   3. Континуальные теоремы сложения
   4. Двойственные формулы
   5. Вырожденные случаи теорем сложения

§ 5. Многочлены Лагерра и представления группы комплексных треугольных матриц третьего порядка
   1. Определение многочленов Лагерра
   2. Группа комплексных треугольных матриц третьего порядка и многочлены Лагерра

ГЛАВА IX ГРУППА ВРАЩЕНИЙ n-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ ГЕГЕНБАУЭРА

§ 1. Группа
   1. Сферические координаты
   2. Описание группы
   3. Углы Эйлера
   4. Инвариантное интегрирование

§ 2. Представления класса 1 группы и гармонические многочлены
   1. Квазирегулярное представление
   2. Представления в пространствах однородных многочленов
   3. Гармонические многочлены
   4. Инвариантность подпространства
   5. Гармоническая проекция многочлена. Представление в пространстве гармонических многочленов
   6. Каноническое разложение однородных многочленов
   7. Разложение квазирегулярного представления
   8. Разложение сужения представления на подгруппу
   9. Инфинитезимальные операторы представления
   10. Неприводимость представлени
   11. Полнота системы представлени

§ 3. Зональные сферические функции представлений Pи многочлены Гегенбауэра
   1. Описание зональных сферических функций.
   2. Дифференциальное уравнение и рекуррентные соотношения для многочленов Гегенбауэра
   3. Частные случаи и частные значения многочленов Гегенбауэра
   4. Соотношения ортогональности для многочленов Гегенбауэра
   5. Разложение пространства гармонических многочленов
   6. Построение канонического базиса
   7. Разложение функций на n-мерной сфере

§ 4. Матричные элементы нулевого столбца
   1. Элементы "нулевого столбца" канонической матрицы
   2. Теорема сложения для многочленов Гегенбауэра
   3. Формула умножения для многочленов Гегенбауэра
   4. Реализация представлений в пространстве функций от n - 1 переменного
   5. Разложение пространства
   6. Инвариантное скалярное произведение в пространстве
   7. Интегральное представление многочленов Гегенбауэра
   8. Связь между многочленами Гегенбауэра и присоединенными функциями Лежандра
   9. Некоторые разложения по многочленам Гегенбауэра
   10. Другие интегральные представления многочленов Гегенбауэра
   11. Некоторые интегралы, содержащие многочлены Гегенбауэра
   12. Производящая функция для многочленов Гегенбауэра

§ 5. Сферические функции и оператор Лапласа. Полисферические функции
   1. Оператор Лапласа на сфере
   2. Полнсферические координаты
   3. Дифференциал длины дуги и оператор Лапласа в полнсферических координатах
   4. Собственные функции оператора Лапласа в полнсферических координатах

ГЛАВА X ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ n-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

§ 1. Псевдоевклидово пространство и гиперболические вращения.
   1. Псевдоевклидово пространство.
   2. Группа
   3. Пространство Лобачевского
   4. Углы Эйлера в группе

§ 2. Представления класса 1 группы
   1. Описание представлений 7
   2. Сопряженные представления
   3. Неприводимость представлений нецелых а
   4. Приводимость представления целых значениях а
   5. Условия унитарности представления
   6. Эквивалентность представлений

§ 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы
   1. Построение базиса в пространстве
   2. Интегральное представление зональных и присоединенных; сферических функций
   3. Выражение зональной функции через гипергеометрическую функцию
   4. Вычисление присоединенных сферических функций
   5. Теорема сложения для функций Лежандра
   6. Теорема умножения для функций Лежандра
   7. Производящая функция для присоединенных функций Лежандра

§ 4. Разложения представлений группы и преобразование Фока - Мелера
   1. Вводные замечания
   2. Инвариантное интегрирование в пространстве Лобачевского и на орисферах
   3. Интегральное преобразование Гельфанда-Граева
   4. Квазирегулярное представление группы
   5. Интегральные преобразования функций на гиперболоиде

§ 5. Оператор Лапласа на гиперболоиде. Полисферические и орисферические функции на гиперболоиде
   1. Оператор Лапласа на гиперболоиде
   2. Полисферические координаты на гиперболоиде [х, х] = 1.
   3. Орисферические координаты на гиперболоиде
   4. Разделение переменных в орисферических координатах

ГЛАВА XI ГРУППА ДВИЖЕНИЯ n-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

§ 1. Группа

§ 2. Непрнаодимые представления класса 1 группы
   1. Описание представлений
   2. Неприводимость представлений

§ 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы
   1. Базис в пространстве
   2. Вычисление зональных сферических функций
   3. Присоединенные сферические функции
   4. Теорема сложения для функций Бесселя
   5. Теорема умножения для функций Бесселя
   6. Производящая функция для функций Бесселя
   7. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя

§ 4. Предельный переход по размерности пространства. Многочлены Эрмита
   1. Многочлены Эрмита, как предел многочленов Гегенбауэра
   2. Некоторые свойства многочленов Эрмита
   3. Соотношения ортогональности для многочленов Эрмита
   4. Преобразование Фурье функций
   5. Предельный переход по размерности для группы

Краткая аннотация книги

   Решение очень многих важных задач математической физики и техники не может быть выражено с помощью обычных, элементарных функций, и тогда приходят на помощь специальные функции (функции Лежандра, функции Бесселя, гипергеометрическая функция и т. д.). Теория специальных функций очень детально разработана и включает в себя необозримое множество формул и соотношений, выводимых самыми разнообразными методами, что затрудняет ее изучение.

   Целью данной книги является изложение теории специальных функций с единой точки зрения при помощи теории представлений групп. Этот подход позволяет единым образом получать всевозможные соотношения между специальными функциями, как ранее известные, так и новые. Книга предназначена для математиков, физиков (как теоретиков, так и экспериментаторов), научных работников в области техники, а также может быть использована аспирантами и студентами старших курсов университетов.

   В этой книге теория специальных функций излагается с теоретико-групповой точки зрения. С первого взгляда теория специальных функций представляется хаотическим набором формул: помимо того, что существует необозримое множество самих специальных функций, для каждой из них в настоящее время найдено много всевозможных дифференциальных уравнений, интегральных представлений, рекуррентных формул, теорем сложения и т. д. Установить какой-либо порядок в этом хаосе формул кажется совершенно безнадежной задачей.

   Однако развитие теории представлений групп дало в настоящее время возможность охватить теорию наиболее важных классов специальных функций с единой точки зрения. Отметим, что оценка важности отдельных классов специальных функций сильно изменилась за последнее столетие. В середине и второй половине XIX века наиболее интересными считались эллиптические и связанные с ними функции. Однако, как отметил в одном своем выступлении Ф. Клейн, существует другой класс специальных функций, по меньшей мере столь же важный ввиду их многочисленных приложений к астрономии и математической физике - это гипергеометрические функции. Развитие математики за истекшее время подтверждает мнение Клейна - гипергеометрическая функция и ее различные частные и вырожденные случаи - функции Бесселя, Лежандра, ортогональные многочлены Якоби, Чебышева, Лагерра, Эрмита и т. д. - играют все большую роль в самых разных отделах математики и ее приложений. Этот класс специальных функций часто называют специальными функциями математической физики. Он-то и поддается теоретико-групповой трактовке.

   Связь между специальными функциями и представлениями групп была впервые открыта Э. Картаном. (прочем, еще ранее были установлены связи теории специальных функций с теорией инвариантов, являющейся одним из аспектов теории представлений групп.) Значительную роль в исследовании этих связей сыграло применение теории представлений в квантовой механике. Дальнейшие работы в этой области стимулировались исследованиями И. М. Гельфанда, М. А. Наймарка и их учеников и сотрудников в области бесконечномерных представлений групп. В ходе этих исследований была установлена связь теории представлений групп с авто-морфными функциями, построена теория специальных функций над конечными полями, специальных функций в однородных областях и т. д.

   Целью данной книги является систематическое изложение теории специальных функций с групповой точки зрения. При этом мы ограничились изучением классических специальных функций и тем самым простейших групп. Книга состоит из одиннадцати глав. В первой главе изложены основные понятия и факты теории групп преобразований и представлений групп.

   Во второй главе разобраны два модельных примера - аддитивная группа вещественных чисел и группа вращений окружности. Эти группы приводят соответственно к показательной и тригонометрическим функциям. В этой главе, кроме того, изложены некоторые факты классического гармонического анализа - теория рядов и интегралов Фурье в вещественной и комплексной областях.

   Третья глава посвящена представлениям группы вращений трехмерного евклидова пространства и локально изоморфной ей группы SU(2) унитарных унимодулярных матриц второго порядка. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений этих групп выражаются через многочлены Лежандра и Якоби. Поэтому РЗ общих свойств матричных элементов вытекают различные соотношения для этих многочленов (соотношения ортогональности и полноты, рекуррентные формулы, теорема сложения и т. д.). В конце главы рассмотрен дискретный аналог многочленов Якоби - коэффициенты Клебша-Гордана.

   В четвертой главе изучены представления группы движений евклидовой плоскости. Матричные элементы представлений этой группы выражаются через функции Бесселя, что позволяет вывести ряд свойств функций Бесселя из теоретико-групповых соображений. Дальнейшие свойства функций Бесселя и тесно связанных с ними функций Ганкеля и Макдональда изучены в главе V, посвященной представлениям группы движений псевдоевклидовой плоскости. В этой главе выведен ряд интегралов по индексу для цилиндрических функций. В начале главы рассмотрены группа линейных преобразований прямой линии и теория Г-функции.

   В шестой и седьмой главах рассмотрены представления группы вещественных унимодулярных матриц второго порядка. Представления этой группы связаны с несколькими классами специальных функций. В шестой главе изучены функции конуса. В седьмой главе рассмотрена реализация представлений в виде интегральных операторов, ядром которых служит гипергеометрическая функция. Отсюда выводится ряд свойств гипергеометрической функции, как хорошо известных (интегральное представление Меллина - Бернса), так и новых. В главе VIII аналогичным образом изучена вырожденная гипергеометрическая функция, точнее говоря, тесно связанные с ней функции Уиттекера. Показано, что теория функций Уиттекера основана на изучении представлений группы треугольных матриц третьего порядка. Исходя из этого, выведены различные свойства функций Уиттекера - интегральные представления, рекуррентные формулы, континуальные теоремы сложения. В этой же главе рассмотрены многочлены Лагерра и выведена для них формула сложения.

   Все группы, рассмотренные в главах II - VIII, имеют весьма простую структуру. Более сложные группы рассмотрены в главах IX - XI, а именно, группы движений n-мерной сферы, n-мерного пространства Лобачевского и n-мерного евклидова пространства. Однако при этом мы рассматриваем не все неприводимые представления этих групп, а лишь так называемые представления класса 1, и не все матричные элементы представлений, а лишь матричные элементы "нулевого столбца". Этого оказывается уже достаточно, чтобы построить теорию многочленов Гегенбауэра и гармонических многочленов, а также получить разложение функций на n-мерной сфере и гиперболоиде. В главе XI выведены дальнейшие свойства функций Бесселя.

   К сожалению, объем книги не позволил остановиться на некоторых вопросах, связанных с теорией представлений и специальными функциями. Так, не была рассмотрена группа движений n-мерного псевдоевклидова пространства. Остались почти не освещенными асимптотические свойства специальных функций. Впрочем, изложенные в книге интегральные представления этих функций позволяют получить их асимптотические разложения обычными методами.

   Автор приносит глубокую благодарность И. М. Гельфанду, советами и указаниями которого он пользовался в течение всей работы над книгой, и роль которого в создании книги трудно переоценить. Автор благодарит также М. А. Наймарка, М. И. Граева, И. И. Пятецкого-Шапиро, Ф. А. Березина, Ф. И. Карпелевича, С. Г. Гиндикина, Д. П. Желобенко, с которыми часто обсуждал вопросы теории представлений групп и теории специальных функций. Многочисленные советы М. И. Граева повлияли на трактовку некоторых вопросов и окончательное расположение материала.

   Весьма полезными для автора были беседы с Я. А. Смородинским и его учениками о применениях теории представлений групп и интегральных преобразований в физике. В. В. Цукерман взял на себя нелегкий труд по проверке формул. Большое внимание уделил рукописи на всех этапах ее прохождения А. 3. РЫБКИН. С. А. Виленкина перепечатывала многочисленные варианты рукописи. Выражаю им благодарность за большую помощь, значительно облегчившую подготовку рукописи к печати.