Электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
   Л.Д. Кудрявцев, Математический анализ (Том 2)

   Вы можете  найти на этой странице (программа отметит желтым цветом)
   Вы можете выполнить  поиск в оглавлениях книг (требует поддержку JavaScript)

   • Скачать книгу, объем 3,79 Мб, формат .djvu
   Базовый самый популярный курс математического анализа

Глава пятая. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение)

§ 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных
   39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных
   39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных
   39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции
   39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций
   39.5. Замечания о рядах Тейлорадля функций многих переменных

§ 40. Экстремумы функций многих переменных
   40.1. Необходимые условия экстремума
   40.2. Достаточные условия строгого экстремума
   40.3. Замечания об экстремумах на множествах

§ 41. Неявные функции
   41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением
   41.2. Произведения множеств
   41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений
   41.4. Отображения. Свойства якобианов отображений
   41.5. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области
   41.6. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых
   41.7. Замена переменных

§ 42. Зависимость функций
   42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций
   42.2. Достаточные условия зависимости функций

§ 43. Условный экстремум
   43.1. Понятие условного экстремума
   43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума
   43.3. Замечания о достаточных условиях для точек условного экстремума

Глава шестая Интегральное исчисление функций многих переменных

§ 44. Кратные интегралы
   44.1. Понятие объема в n-мерном пространстве. Множества меры нуль
   44.2. Квадрируемые и кубируемые множества
   44.3. Определение кратного интеграла
   44.4. Существование кратного интеграла
   44.5. Свойства кратного интеграла

§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному
   45.1. Основная теорема для двумерного случая
   45.2. Обобщения на n-мерный случай

§ 46. Замена переменных в кратном интеграле
   46.1. Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае
   46.2. Замена переменных в двухкратном интеграле
   46.3. Криволинейные координаты
   46.4. Замена переменных в п-кратном интеграле

§ 47. Криволинейные интегралы
   47.1. Криволинейные интегралы первого рода
   47.2. Криволинейные интегралы второго рода
   47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой
   47.4. Криволинейные интегралы по кусочио-гладким кривым
   47.1.
   47.5. Формула Грнна
   47.6. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов
   47.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоских областей
   47.8. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования

§ 48. Несобственные кратные интегралы
   48.1. Основные определения
   48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
   48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак

§ 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных интегралов
   49.1. Вычисление площадей и объемов
   49.2. Физические приложения кратных интегралов

§ 50. Элементы теории поверхностей
   50.1. Общиепонятия
   50.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
   50.3. Первая квадратичная формула поверхности
   50.4. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между ними
   50.5. Площадь поверхности
   50.6. Ориентация поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности

§ 51. Поверхностные интегралы
   51.1. Определенней свойства поверхностных интегралов
   51.2. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм
   51.3. Поверхностные интегралы по поверхностям с коническими точками по кусочио-гладким поверхностям

§ 52. Скалярные и векторные поля
   52.1. Определения
   52.2. Формула Остроградского-Гаусса. Инвариантное определение дивергенции.
   52.3. Формула Стокса. Инвариантное определение вихря
   52.4. Соленоидальные векторные поля
   52.5. Потенциальные векторные поля

§ 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра
   53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру
   53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

§ 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
   54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра
   54.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
   54.3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов
   54.4. Эйлеровы интегралы
   54.5. Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра

Глава седьмая Ряды Фурье. Интеграл Фурье

§ 55. Классические ряды Фурье
   55.1. Определение ряда Фурье. Описание основных задач
   55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю
   55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации
   55.4. Сходимость рядов Фурье для кусочно дифференцируемых функций
   55.5. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических
   55.6. Приближение непрерывных функций многочленами
   55.7. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х
   55.8. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
   55.9. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье
   55.10. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплексная запись рядов Фурье.

§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
   56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье
   56.2. Различные виды записи формулы Фурье. Преобразование Фурье
   56.3. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций
   56.4. Преобразование Фурье производных
   56.5. Свертка и преобразование Фурье
   56.6. Производная преобразования Фурье

§ 57. Функциональные пространства
   57.1. Метрические пространства
   57.2. Линейные пространства
   57.3. Нормированные пространства
   57.4. Гильбертовы и предгильбертовы пространства
   57.5. Пространство

§ 58. Оргонормированные базисы и разложения по ним
   58.1. Ортонормированные системы
   58.2. Ортогонализация систем
   58.3. Ряды Фурье
   68.1. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств
   68.2. Некоторые следствия для классических рядов Фурье и рядов Фурье по полиномам Лежандра
   68.3. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля

§ 59. Обобщенные функции
   59.1. Общие соображения
   59.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства
   59.3. Определение обобщенных функций. Пространства D и D'
   59.4. Дифференцирование обобщенных функций
   59.5. Пространство основных функций S и пространство обобщенных функций S'
   59.6. Преобразование Фурье в пространстве
   59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций Добавление

§ 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
   60.1. Вычисление значений функций
   60.2. Решение уравнений
   60.3. Интерполяция функций
   60.4. Квадратурные формулы
   60.5. Погрешность квадратурных формул

Краткая аннотация книги

   Учебник предназначен для вузов с повышенной математической подготовкой. Его задачей является не только изложение основных сведений из математического анализа, но и подготовка учащихся к чтению современной математической литературы. Особое внимание обращено на изложение аналитических методов, вместе о тем в книге нашли свое отражение и некоторые геометрические вопросы теории функций. В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисление функций одного переменного, простейшие сведения о функциях многих переменных и теория рядов. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.

   В учебнике излагаются основные сведения из математического анализа. Рассматриваются как классические вопросы, так и более новые, подготавливающие учащегося к чтению современной математической литературы. Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисление функций многих переменных, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теория обобщенных функций. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.

   Математические методы исследования всегда играли и играют огромную роль в естествознании. Математика неустанно продолжает развиваться и находит все новые и новые области своего применения. Задачи практики в свою очередь приводят к созданию новых направлений математики и ее приложений. Развитие математики в целом определяет уровень ее приложений и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники.

   Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы реального мира. Точность математики означает, что методом исследования в математике являются строгие логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются логические модели, построенные для описания и исследования того или иного явления. В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать свойства очень далеких друг от друга по своему физическому содержанию реальных процессов. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения. С абстрактностью математики связана, с одной стороны, определенная трудность ее усвоения, а с другой-ее сила, универсализм и общность.

   В последнее время, благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин, произошел большой качественный скачок в использовании математических методов, которые стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.). Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Вместе с тем, указанными обстоятельствами не исчерпываются характерные особенности решения задач математическими методами, да и вообще математического творчества, т. е. познания объективно существующих математических истин.

   Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Однако интуитивно почувствовать ожидаемый результат и наметить путь исследований - это далеко не все. Интуитивное чувство гармонии является в математике лишь первой, хотя и весьма важной ступенью: интуитивные соображения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения. При этом в математике справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой его на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов в узком смысле этого слова, а чисто логическим путем, по законам формальной логики. Эксперимент или пример могут дать лишь иллюстрацию утверждения или его опровержение или натолкнуть на какую-либо идею. При математическом доказательстве гипотезы, при математическом решении задачи правильный выбор аппарата и метода-залог успеха и, более того, часто залог того, что в результате будет получено больше полезной информации об изучаемом предмете, чем можно было заранее предвидеть. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков. Формулы могут оказаться "умнее" применяющего их и дать больше, чем от них ожидалось. Результат математического исследования часто записывается с помощью длинных, и однообразных формул, подобно тому как прекрасная симфония может быть записана с помощью многочисленных рядов однообразных нотных знаков.

   Конечно, эта схема весьма идеализирована. Было бы большим заблуждением думать, что для математики имеют значение только доказанные утверждения, только исследования, доведенные в известном смысле до логического завершения. Можно привести много примеров математических теории и положений, которые, будучи сформулированы лишь в виде гипотез, тем не менее оказывали или оказывают существенное влияние на развитие математики.

   Свободное владение математическими методами, знания и интуиция приобретаются, накапливаются и развиваются в процессе систематических занятий, в результате длительной и настойчивой работы. Тот, кто последовательно овладевает математическим аппаратом, кто последовательно приобретает твердое и точное знание математических фактов легко и просто двигается дальше; усвоив одно, усваивает и последующее. Для него деревья не загораживают леса, он легко оценивает силу и красоту математических методов, приобретает уверенность в способности и умении справиться с встречающейся ему задачей, и математика делается послушным инструментом в его руках.

   При изучении математики весьма важно, чтобы учащийся понял и хорошо усвоил основные математические понятия, а не составил о них приближенное расплывчатое представление. То что понято и освоено, входнт в плоть и кровь, делается естественным и очевидным, а следовательно, и простым в обращении. При изучении математики важно также, чтобы учащийся стремился овладеть процессом творческого мышления, чтобы он освоил сущность идей и понятий, понял их взаимосвязь, а не усвоил лишь их внешнюю окончательную форму, записанную с помощью символов. Часто мнение о трудности изучения математики связано с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Кажущаяся трудность тех или иных математических методов нередко связана с тем, что эти методы не были своевременно, достаточно хорошо разъяснены учащемуся и потому остались им не понятыми. Полное освещение понятия, как правили, не требует больше времени, чем создание о нем интуитивного описательного представления, нуждающегося в дополнительных пояснениях, и оправдьшает себя при применении этого понятия, позволяя его правильно использовать.