  |
Электронная библиотека. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно
Вы можете • Скачать книгу, две части, 6.29 Мб, формат .djvu
Глава 1. Вариационные неравенства: существование и регулярность
Глава 2. Вариационные неравенства: анализ свободной границы
Глава 3. Струи и полости
Глава 4. Вариационные задачи с потенциалами
Глава 5. Некоторые задачи со свободной границей в инвариационной форме
Краткая аннотация книги Излагаются основанные на теории вариационных неравенств новые методы исследования свободной границы для различных задач со свободными границами. Строгое математическое изложение удачно сочетается с демонстрацией постановок и результатов на конкретных физических задачах. Для специалистов в области математического анализа, дифференциальных уравнений, математической физики и их приложений. Доступна аспирантам и студентам старших курсов. В связи с применением (где это возможно) вариационного подхода в исследовании задач со свободными границами за последнее время достигнуты важные успехи. Для задач, допускающих вариационный подход, без труда устанавливается, что решение существует в "слабом" смысле. Далее можно исследовать регулярность решения, а затем попытаться изучить гладкость свободной границы. Фактически за последние пять лет выявлены новые методы исследования свободных границ и создана теория, достигшая на данном этапе определенной ступени зрелости; будущее этой теории выглядит еще более обещающим. Все больше физических и инженерных задач начинают поддаваться этим методам. В связи с этим настало время обсудить основные достижения в данной области и систематизировать их. Поскольку многие основные результаты были мотивированы физическими моделями, мы сохранили при изложении тесную связь между общей теорией и приложениями к физическим примерам. Чтобы сделать книгу более доступной для неспециалистов в данной области, мы приводим необходимые сведения из теории эллиптических и параболических операторов (наиболее полно это проделано в первых двух главах). В конце каждого параграфа приведены задачи, а в конце каждой главы - библиографические замечания. Предлагаемая читателю книга написана известным американским математиком А. Фридманом. В монографии изучаются задачи со свободными границами, т.е. задачи, в которых неизвестная заранее функция в разных частях области удовлетворяет качественно различным условиям. Граница раздела этих зон, называемая свободной границей, также является неизвестной. Значительное продвижение в исследовании задач со свободными границами произошло в последние годы в связи со становлением и развитием теории вариационных неравенств. Эта теория возникла из практической задачи (известной теперь как задача Синьорини) и тесно связана с приложениями. Возможность постановки конкретной физической задачи со свободной границей в виде вариационного неравенства означает, по сути, возможность обобщенной постановки. Вариационные неравенства в современном понимании хотя и не всегда являются чисто вариационными задачами, но сохраняют некоторые черты, присущие таковым. Так, некоторые условия задачи явно не участвуют в вариационном неравенстве. Подобно тому как граничное условие в вариационной постановке задачи Неймана возникает лишь при интерпретации, при переходе к "дифференциальной" постановке, так и неизвестная свободная граница в вариационном неравенстве явно не фигурирует, и мы имеем дело лишь с одним неизвестным объектом - неизвестной функцией. Теоремы о разрешимости вариационных неравенств обобщают результаты по существованию минимума выпуклых функционалов и носят довольно общий характер. Так что если задача со свободными границами допускает постановку в виде вариационного неравенства, то общая теория позволяет говорить о ее разрешении в-слабом смысле. Исследование дифференциальных свойств слабого решения,т.е. его гладкости,- вопрос более тонкий. Прежде всего отметим, что нельзя ожидать гладкой стыковки решения на свободной границе, поскольку условия на решение в зонах, разделяемых свободной границей, существенно различаются. Действительно, для таких задач характерны пороги гладкости. Столь общих, как результаты по разрешимости, теорем о регулярности решений вариационнных неравенств нет. Способы доказательств регулярности решений вариационных неравенств (в пределах, обусловленных порогом гладкости) подчинены конкретным видам ограничений. Исследования в данном направлении интенсивно ведутся, и полученные к настоящему времени результаты дают довольно полную картину в случае задач с дифференциальными операторами (эллиптическими и параболическими) второго порядка, в том числе и по вопросу о предельной гладкости. Но, пожалуй, наиболее трудный и важный для приложений вопрос - это изучение свойств самой свободной границы. И здесь весьма перспективными представляются результаты и методы, изложенные в данной книге. В тех случаях, когда задача допускает постановку в виде вариационного неравенства, при исследовании свободной границы предполагается, что решение обладает предельной гладкостью. Вопросы регулярности решения для некоторых вариационных неравенств обсуждаются в гл. 1. Учитывая важность результатов по регулярности решений как предварительного этапа при исследовании свободных границ, я совместно с переводчиком подготовила библиографические замечания, дополняющие в основном материал гл. 1. |
Главная страница сайта
Внешнее тестирование
Компьютерные фирмы